वर्तुळाचे कोणतेही तीन बिंदू एकरेषीय नसतात, हे सिद्ध करा. - Mathematics 2 - Geometry [गणित २ - भूमिती]

Advertisements
Advertisements
Sum

वर्तुळाचे कोणतेही तीन बिंदू एकरेषीय नसतात, हे सिद्ध करा.

Advertisements

Solution

पक्ष: O केंद्र असलेले एक वर्तुळ.

बिंदू A, B व C हे वर्तुळावरील कोणतेही तीन बिंदू आहेत.

साध्य: बिंदू A, B व C हे एकरेषीय नाहीत.

सिद्धता:  

OA = OB   ......[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]

∴ बिंदू O हा रेख AB च्या A व B या अंत्यबिंदूंपासून समान अंतरावर आहे.

∴ बिंदू O हा AB च्या लंबदुभाजकावर आहे.

त्याचप्रमाणे, आपण सिद्ध करू शकतो, की बिंदू O हा BC च्या लंबदुभाजकावर आहे.  ......[लंबदुभाजकाचे प्रमेय] 

∴ बिंदू O हा लंबदुभाजक AB व BC चा छेदनबिंदू आहे. (म्हणजेच, ΔABC चे परिकेंद्र).  ....(i) 

आता बिंदू A, B व C हे एकरेषीय आहेत असे मानू.

तर AB व BC चे लंबदुभाजक समांतर असतील.  ......[एकाच रेषेला लंब असणाऱ्या रेषा परस्परांना समांतर असतात.]

∴ हे लंबदुभाजक बिंदू O वर परस्परांना छेदणार नाहीत. हे आपल्या विधान (i) शी म्हणजेच 'बिंदू O हा लंबदुभाजक AB व BC चा छेदनबिंदू आहे' या विधानाशी विसंगत आहे

∴ 'बिंदू A, B व C हे एकरेषीय आहेत' हे आपण मानलेले विधान चुकीचे आहे.

∴ बिंदू A, B व C हे एकरेषीय नाहीत.

Concept: वर्तुळाची संकल्पना - केंद्र, त्रिज्या, व्यास, आर्क, सेक्टर, जीवा, खंड, अर्धवर्तुळ, परिघ, आतील आणि बाहेरील, एकाग्र वर्तुळे
  Is there an error in this question or solution?
Chapter 3: वर्तुळ - संकीर्ण प्रश्नसंग्रह 3 [Page 86]

APPEARS IN

Balbharati Mathematics 2 Geometry 10th Standard SSC Maharashtra State Board [गणित २ भूमिती इयत्ता १० वी]
Chapter 3 वर्तुळ
संकीर्ण प्रश्नसंग्रह 3 | Q 12. | Page 86

RELATED QUESTIONS

प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक पर्याय निवडा. 

परस्परांना छेदणाऱ्या दोन वर्तुळांपैकी प्रत्येक वर्तुळ दुसऱ्या वर्तुळाच्या केंद्रातून जाते. जर त्यांच्या केंद्रांतील अंतर 12 सेमी असेल, तर प्रत्येक वर्तुळाची त्रिज्या किती सेमी आहे?


सोबतच्या आकृतीत, केंद्र X आणि Y असलेली वर्तुळे परस्परांना बिंदू Z मध्ये स्पर्श करतात. बिंदू Z मधून जाणारी वृत्तछेदिका त्या वर्तुळांना अनुक्रमे बिंदू A व बिंदू B मध्ये छेदते. तर सिद्ध करा, त्रिज्या XA || त्रिज्या YB. खाली दिलेल्या सिद्धतेतील रिकाम्या जागा भरून पूर्ण सिद्धता लिहून काढा.

 

रचना : रेख XZ आणि ______ काढले.

सिद्धता : स्पर्शवर्तुळांच्या प्रमेयानुसार, बिंदू X, Z, Y हे ______ आहेत.

∴ ∠XZA ≅ ______ विरुद्ध कोन

∠XZA = ∠BZY = a मानू ______ (I)

आता, रेख XA ≅ रेख XZ    ______(______)

∴ ∠XAZ = ______ = a ______ (समद्‌विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय) (II)

तसेच रेख YB ≅ ______ ______(______)

∴ ∠BZY = ______ = a ______(______) (III)

∴ (I), (II) व (III) वरून,

∠XAZ = ______

∴ त्रिज्या XA || त्रिज्या YB ______(______)  


आकृती मध्ये, केंद्र X व Y असणारी अंतर्स्पर्शी वर्तुळे बिंदू Z मध्ये स्पर्श करतात. रेख BZ ही मोठ्या वर्तुळाची जीवा लहान वर्तुळाला बिंदू A मध्ये छेदते. तर सिद्ध करा - रेख AX || रेख BY.

 


सोबतच्या आकृतीत, केंद्र A असलेल्या वर्तुळाला रेषा MN बिंदू M मध्ये स्पर्श करते. जर AN = 13 तसेच MN = 5 असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.

 


एका वर्तुळाच्या केंद्रापासून 15 सेमी अंतरावरील एका बिंदूतून त्या वर्तुळाला काढलेल्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी 12 सेमी असेल, तर त्या वर्तुळाचा व्यास काढा.


सोबतच्या आकृतीत, बिंदू M वर्तुळ केंद्र आणि रेख KL हा स्पर्शिकाखंड आहे. जर MK = 12, KL = `6sqrt3`, तर

  1. वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
  2. ∠K आणि ∠M

 


P हा केंद्रबिंदू असलेल्या वर्तुळात जीवा AB ही एका स्पर्शिकेला समांतर आहे आणि स्पर्शबिंदूतून काढलेल्या त्रिज्येला तिच्या मध्यबिंदूत छेदते. जर AB = `16sqrt3`, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा. 


आकृतीमध्ये, P केंद्र असलेले वर्तुळ O केंद्र असलेल्या अर्धवर्तुळाला Q व C बिंदूंत स्पर्श करते. जर व्यास AB = 10, AC = 6 असेल, तर लहान वर्तुळाची त्रिज्या x किती?

 


आकृतीमध्ये, `square`ABCD च्या बाजूंना आतून स्पर्श करणाऱ्या वर्तुळाचा केंद्र O आहे. जर AD ⊥ DC तसेच BC= 38, QB = 27, DC = 25 असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.

 


O केंद्र असलेल्या वर्तुळाची AB जीवा आहे. AOC वर्तुळाचा व्यास आहे. स्पर्शिका AT वर्तुळाला बिंदू A मध्ये स्पर्श करते.

खालील प्रश्‍नांची उत्तरे लिहा:

  1. वरील दिलेल्या माहितीवरून आकृती काढा.
  2. ∠CAT व ∠ABC ची मापे काढा व त्याचे कारण लिहा.
  3. ∠CAT व ∠ABC एकरूप आहेत का? स्पष्टीकरण लिहा.

Share
Notifications



      Forgot password?
Use app×