सोबतच्या आकृतीत, केंद्र X आणि Y असलेली वर्तुळे परस्परांना बिंदू Z मध्ये स्पर्श करतात. बिंदू Z मधून जाणारी वृत्तछेदिका त्या वर्तुळांना अनुक्रमे बिंदू A व बिंदू B मध्ये छेदते. तर सिद्ध करा - Mathematics 2 - Geometry [गणित २ - भूमिती]

Advertisements
Advertisements
Sum

सोबतच्या आकृतीत, केंद्र X आणि Y असलेली वर्तुळे परस्परांना बिंदू Z मध्ये स्पर्श करतात. बिंदू Z मधून जाणारी वृत्तछेदिका त्या वर्तुळांना अनुक्रमे बिंदू A व बिंदू B मध्ये छेदते. तर सिद्ध करा, त्रिज्या XA || त्रिज्या YB. खाली दिलेल्या सिद्धतेतील रिकाम्या जागा भरून पूर्ण सिद्धता लिहून काढा.

 

रचना : रेख XZ आणि ______ काढले.

सिद्धता : स्पर्शवर्तुळांच्या प्रमेयानुसार, बिंदू X, Z, Y हे ______ आहेत.

∴ ∠XZA ≅ ______ विरुद्ध कोन

∠XZA = ∠BZY = a मानू ______ (I)

आता, रेख XA ≅ रेख XZ    ______(______)

∴ ∠XAZ = ______ = a ______ (समद्‌विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय) (II)

तसेच रेख YB ≅ ______ ______(______)

∴ ∠BZY = ______ = a ______(______) (III)

∴ (I), (II) व (III) वरून,

∠XAZ = ______

∴ त्रिज्या XA || त्रिज्या YB ______(______)  

Advertisements

Solution

पक्ष: बिंदू X आणि Y ही वर्तुळांची केंद्रे आहेत.

साध्य: त्रिज्या XA || त्रिज्या YB.

रचना : रेख XZ आणि रेख YZ काढल्या.  

सिद्धता : 

स्पर्शवर्तुळांच्या प्रमेयानुसार, बिंदू X, Z, Y हे एकरेषीय आहेत.

∴ ∠XZA ≅ ∠BZY ....[विरुद्ध कोन]

∠XZA = ∠BZY = a मानू  (I)

आता, रेख XA ≅ रेख XZ ......[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]

∴ ∠XAZ = ∠XZA = a (II) [समद्‌विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय]

तसेच रेख YB ≅ रेख YZ .........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]

∴ ∠BZY = ∠ZBY = a (III) [समद्‌विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय]

∴ ∠XAZ = ∠ZBY .....[(I), (II) व (III)] वरून,

∴ त्रिज्या XA || त्रिज्या YB ......[व्युत्क्रम कोन कसोटी]    

Concept: वर्तुळाची संकल्पना - केंद्र, त्रिज्या, व्यास, आर्क, सेक्टर, जीवा, खंड, अर्धवर्तुळ, परिघ, आतील आणि बाहेरील, एकाग्र वर्तुळे
  Is there an error in this question or solution?
Chapter 3: वर्तुळ - संकीर्ण प्रश्नसंग्रह 3 [Page 85]

APPEARS IN

Balbharati Mathematics 2 Geometry 10th Standard SSC Maharashtra State Board [गणित २ भूमिती इयत्ता १० वी]
Chapter 3 वर्तुळ
संकीर्ण प्रश्नसंग्रह 3 | Q 7. | Page 85

RELATED QUESTIONS

प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक पर्याय निवडा. 

परस्परांना छेदणाऱ्या दोन वर्तुळांपैकी प्रत्येक वर्तुळ दुसऱ्या वर्तुळाच्या केंद्रातून जाते. जर त्यांच्या केंद्रांतील अंतर 12 सेमी असेल, तर प्रत्येक वर्तुळाची त्रिज्या किती सेमी आहे?


वर्तुळाचे कोणतेही तीन बिंदू एकरेषीय नसतात, हे सिद्ध करा.


सोबतच्या आकृतीत रेख MN ही केंद्र O असलेेल्या वर्तुळातील जीवा आहे. MN = 25, जीवा MN वर बिंदू L असा आहे की ML = 9 आणि d(O,L) = 5 तर या वर्तुळाची त्रिज्या किती असेल?

 


सोबतच्या आकृतीमध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळाची रेख DE ही जीवा आहे. रेख CF ⊥ जीवा DE आणि DE = 16 सेमी, तर DF ची लांबी काढा. 

 


सोबतच्या आकृतीत, केंद्र A असलेल्या वर्तुळाला रेषा MN बिंदू M मध्ये स्पर्श करते. जर AN = 13 तसेच MN = 5 असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.

 


एका वर्तुळाच्या केंद्रापासून 15 सेमी अंतरावरील एका बिंदूतून त्या वर्तुळाला काढलेल्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी 12 सेमी असेल, तर त्या वर्तुळाचा व्यास काढा.


सोबतच्या आकृतीत, बिंदू M वर्तुळ केंद्र आणि रेख KL हा स्पर्शिकाखंड आहे. जर MK = 12, KL = `6sqrt3`, तर

  1. वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
  2. ∠K आणि ∠M

 


आकृतीमध्ये, जीवा AC आणि जीवा DE बिंदू B मध्ये छेदतात. जर ∠ABE = 100° आणि m(कंस AE) = 95°, तर m(कंस DC) काढा. 


P हा केंद्रबिंदू असलेल्या वर्तुळात जीवा AB ही एका स्पर्शिकेला समांतर आहे आणि स्पर्शबिंदूतून काढलेल्या त्रिज्येला तिच्या मध्यबिंदूत छेदते. जर AB = `16sqrt3`, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा. 


बिंदू A, B आणि C केंद्र असलेली तीन वर्तुळे परस्परांना बाहेरून स्पर्श करतात. जर AB = 36, BC = 32 आणि CA = 30 असेल, तर प्रत्येक वर्तुळाची त्रिज्या काढा.


Share
Notifications



      Forgot password?
Use app×