Question

निश्चित समाकलन में गुणधर्म का उपयोग करते हुए प्रश्न में समाकलन का मान ज्ञात कीजिए-

`int_0^(pi/4)  log (1 + tan x)  "dx"`

Answer 1

माना `"I" = int_0^(pi//4)  log (1 + tan x)  "dx"`   ...(i)

`=> int_0^(pi//4)  log[1 + tan (pi/4 - x)] "dx"     [because int_0^"a" "f"(x) "dx" = int_0^"a" "f"("a" - x) "dx"]`

`"I" = int_0^(pi//4) log [1 + ((1 - tan x)/(1 + tan x))] "dx"`

`"I" = int_0^(pi//4) log (2/(1 + tan x)) "dx"`

`"I" = int_0^(pi//4) [log 2 - log (1 - tan x)] "dx"`     ..... (ii)

समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर,

`"2I" =  int_0^(pi//4) log 2  "dx"`

`"2I" = log 2 [x]_0^(pi//4)`

`"2I" = pi/4  log 2`

`=> "I" = pi/8  log 2`