निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं: समुच्चय A = {1, 2, 3, ..., 13, 14} में संबंध R, इस प्रकार परिभाषित है कि R = {(x, y) : 3x - y = 0} - Mathematics (गणित)

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Sum

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

समुच्चय A = {1, 2, 3, ..., 13, 14} में संबंध R, इस प्रकार परिभाषित है कि

R = {(x, y) : 3x - y = 0}

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Solution

A = {1, 2, 3, .... 13, 14}

R = {(x, y): 3x - y = 0}

∴ R = {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)}

R सममित नहीं है क्योंकि (1, 1), (2, 2), .... (14, 14) ∉ R.

तथा, R सममित नहीं है क्योंकि (1, 3) ∉ R,  लेकिन (3, 1) ∉ R. [3(3) - 1 ≠ 0]

तथा, R संक्रामक नहीं है क्योंकि (1, 3), (3, 9) ∉ R, लेकिन (1, 9) ∉ R. [3(1) - 9 ≠ 0]

अंत:, R न तो स्वतुल्य है, न सममित है और न ही संक्रामक है।

Concept: संबंधों के प्रकार
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Chapter 1: संबंध एवं फलन - प्रश्नावली 1.1 [Page 6]

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NCERT Mathematics Part 1 and 2 Class 12 [गणित भाग १ व २]
Chapter 1 संबंध एवं फलन
प्रश्नावली 1.1 | Q 1. (i) | Page 6

RELATED QUESTIONS

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में R = {(x, y) : y = x + 5 तथा x < 4} द्वारा परिभाषित संबंध R.


निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

समुच्चय A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} में R = {x, y) : y भाज्य है x से) द्वारा परिभाषित संबंध R है।


निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.

R = {(x, y) : x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं}


सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = {(a, b) : a ≤ b2}, द्वारा परिभाषित संबंध R, न तो स्वतुल्य है, न सममित है और न ही संक्रामक है।


जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5, 6} में R = {(a, b) : b = a + 1} द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है।


जाँच कीजिए कि क्या R में R = {(a, b) : a ≤ b3} द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक हैं?


सिद्ध कीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3} में R = {(1,2), (2,1)} द्वारा प्रदत्त संबंध R सममित है किंतु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है।


सिद्ध कीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 5} में, R = {(a, b) : |a - b| सम है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। प्रमाणित कीजिए कि {1, 3, 5} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं और समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं परंतु {1, 3 ,5} का कोई भी अवयव {2, 4} के किसी अवयव से संबंधित नहीं है।


सिद्ध कीजिए कि समुच्चय A = {x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12}, में दिए गए निम्नलिखित संबंध R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है:

R = {(a, b) : |a - b|, 4 का एक गुणज है},

प्रत्येक दशा में 1 से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।


ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो

सममित हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो।


ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो

संक्रामक हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न सममित हो।


निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.

R = {(x, y) : x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते हैं}


निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.

R = {(x, y) : x, y से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा है}


निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.

R = {(x, y) : x, y की पत्नी है}


निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.

R = {(x, y) : x, y के पिता हैं}


ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो

स्वतुल्य तथा संक्रामक हो किंतु सममित न हो।


सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय A में, R = {(p1, p2) : p1, तथा p2}, की भुजाओं की संख्या समान है। प्रकार से परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। 3, 4 और 5 लंबाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय A के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।


मान लीजिए कि XY-तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय L है और L में R = {(L1, L2) : L1 समान्तर है L2 के} द्वारा परिभाषित संबंध R है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है। रेखा y = 2x + 4 से संबंधित समस्त रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।


मान लीजिए कि समुच्चय {(1, 2, 3, 4)} में, R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)} द्वारा परिभाषित संबंध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए।


मान लीजिए कि समुच्चय N में, R = {(a, b) : a = b - 2, b > 6} द्वारा प्रदत्त संबंध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए:


एक अरिक्त समुच्चय X दिया हुआ है | P(X) जो कि X के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए | निम्नलिखित तरह से P(X) में एक संबंध R परिभाषित कीजिए: P(X) में उपसमुच्चयों A, B के लिए, ARB, यदि और केवल यदि A ⊂ B है | क्या R, P(X) में एक तुल्यता संबंध है? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए |


यदि A = {1, 2, 3} हो तो अवयव (1, 2) वाले तुल्यता संबंधों की संख्या है |


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