Question

If the normal at the point ‘t₁‘ on the parabola y² = 4ax meets the parabola again at the point ‘t₂‘, then prove that t₂ = `- ("t"_1 + 2/"t"_1)`

Answer 1

Equation of normal to y² = 4at’ t’ is y + xt = 2at + at³.

So equation of normal at ‘t₁’ is y + xt₁ = 2at₁ + at₁³

The normal meets the parabola y² = 4ax at ‘t₂’

(ie.,) at (at₂², 2at₂)

⇒ 2at₂ + at₁t₂² = 2at₁ + at₁³

So 2a(t₂ – t₁) = at₁³ – at₁t₂²

⇒ 2a(t₂ – t₁) = at₁(t₁² – t₂²)

⇒ 2(t₂ – t₁) = t₁(t₁ + t₂)(t₁ – t₂)

⇒ 2= – t₁(t₁ + t₂)

⇒ t₁ + t₂ = `(-2)/"t"_1`

⇒ t₂ = `- "t"_1 - 2/"t"_1`

= `- ("t"_1 + 2/"t"_1)`