Question

If f(x)= `{((x - |x|)/x if  x ≠ 0),(2 if x = 0):}` then show that `lim_(x->1)`f(x) does not exist.

Answer 1

`"L"["f"(x)]_(x=0) = lim_(x->0^-) "f"(x) = lim_(h->0) "f"(0 - "h")`

`= lim_(h->0) "f"(-"h") = lim_(h->0) ((-"h") - |- "h"|)/(-"h")`

`= lim_(h->0) (- "h" - "h")/(- "h")`

`= lim_(h->0) (-2cancel("h"))/(-cancel(h))`

`= lim_(h->0) 2` = 2  ...[∵ |- h| = h]   ...(1)

`"R"["f"(x)]_(x=0) = lim_(x->0) "f"(x) = lim_(x->0) "f"(0 + "h")`

`= lim_(h->0)` f(h)

`= lim_(h->0) ("h" - |"h"|)/"h"`

`= lim_(h->0) ("h - h")/"h"`

`= lim_(h->0) 0/"h"` = 0   ...(2)

From (1) and (2),

`"L"["f"(x)]_(x=0) ne "R"["f"(x)]_(x=0)`

`therefore lim_(x-> ∞) "f"(x)` does not exist.