एक कारखाने में दो प्रकार के पेंच A और B बनते हैं। प्रत्येक-के निर्माण में दो मशीनों के प्रयोग की आवश्यकता होती है, जिसमें एक स्वचालित और दूसरी हस्तचालित है। एक पैकेट पेंच A के निर्माण में 4 मिनट स्वचालित और 6 मिनट हस्तचालित मशीन, तथा एक पैकेट पेंच B के निर्माण में 6 मिनट स्वचालित और 6 मिनट हस्तचालित मशीन का कार्य होता है। प्रत्येक मशीन किसी भी दिन के लिए अधिकतम 4 घंटे काम के लिए उपलब्ध है। निर्माता पेंच A के प्रत्येक पैकेट पर Rs 7 और पेंच B के प्रत्येक पैकेट पर Rs 10 का लाभ कमाता है। यह मानते हुए कि कारखाने में निर्मित सभी पेंचों के पैकेट बिक जाते हैं, ज्ञात कीजिए कि प्रतिदिन कितने पैकेट विभिन्न पेंचों के बनाए जाएँ जिससे लाभ अधिकतम हो तथा अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए।
Solution
माना कि निर्माणकर्ता प्रतिदिन पेंच A के x पैकेट और पेंच B के y पैकेट निर्माण करता है | स्पष्ट्तः x ≥ 0, y ≥ 0, दिए हुए आंकड़ों से एक सारणी तैयार करते है |
| पेंच A | पेंच B | आवश्यकता | |
| स्वचालित (मिनट) | 4 | 6 | 240 |
| हस्तचालित (मिनट) | 6 | 3 | 240 |
पेंच A से Rs 7.0 प्रति पैकेट और पेंच B पर Rs 10.00 प्रति पैकेट लाभ है |
व्यवरोध प्राप्त होते हैं
4x + 6y ≤ 240
6x + 3y ≤ 240
कुल लाभ, Z = 7x + 10y
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित हैं:
निम्न व्ययरोधों के अंतर्गत
4x + 6y ≤ 240
6x + 3y ≤ 240
x ≥ 0, y ≥ 0
Z = 7x + 10y का अधिकतमीकरण कीजिए,
कोनीय बिंदु A(40, 0), B(30, 20), O(0, 0) और C(0, 40),
| कोनीय बिंदु | Z = 7x + 10y | |
| A(40, 0) | 280 | |
| B(30, 20) | 410 | अधिकतम |
| O(0, 0) | 0 | |
| C(0, 40) | 400 |
Z का अधिकतम मान (30, 20) पर 410 है,
अतः हम कह सकते है की निर्माणकर्ता को अधिकतम लाभ के लिए प्रति दिन 3 पैकेट पेंच A और 3 पैकेट पेंच B का निर्माण करना चाहिए एवं अधिकतम लाभ है Rs 410 है |
