आकृती मध्ये, केंद्र A व B असणारी वर्तुळे परस्परांना बिंदू E मध्ये स्पर्श करतात. रेषा l ही त्यांची सामाईक स्पर्शिका त्यांना अनुक्रमे C व D मध्ये स्पर्श करते. जर वर्तुळांच्या - Mathematics 2 - Geometry [गणित २ - भूमिती]

Advertisements
Advertisements
Sum

आकृती मध्ये, केंद्र A व B असणारी वर्तुळे परस्परांना बिंदू E मध्ये स्पर्श करतात. रेषा l ही त्यांची सामाईक स्पर्शिका त्यांना अनुक्रमे C व D मध्ये स्पर्श करते. जर वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे 4 सेमी व 6 सेमी असतील, तर रेख CD ची लांबी किती असेल?

Advertisements

Solution

रचना: रेख AF ⊥ रेख BD काढा.

उकल:

i. केंद्र A व B असणारी वर्तुळे परस्परांना बिंदू E मध्ये स्पर्श करतात.  .....[पक्ष]

∴ स्पर्शवर्तुळांच्या प्रमेयानुसार,

A-E-B

∴ ∠ACD = ∠BDC = 90°  ......[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]

∠AFD = 90°  .....[रचना]

∴ ∠CAF = 90°  .....[`square`AFDC चा उर्वरित कोन]

∴ `square`AFDC हा आयत आहे. ......[प्रत्येक कोनाचे माप 90°]

∴ AC = DF = 4 सेमी .....[आयताच्या समोरासमोरील बाजू]

आता, BD = BF + DF ......[B - F - D]

∴ 6 = BF + 4

∴ BF = 2 सेमी

तसेच, AB = AE + EB  .....[बाह्यस्पर्शी वर्तुळांच्या केंद्रांतील अंतर हे त्यांच्या त्रिज्यांच्या बेरजेएवढे असते.]

= 4 + 6 = 10 सेमी

ii. आता, ΔAFB मध्ये, ∠AFB = 90° ......[रचना]

∴ AB2 = AF2 + BF2 ....[पायथागोरसचे प्रमेय]

∴ 102 = AF2 + 22

∴ 100 = AF2 + 4

∴ AF2 = 96

∴ AF = `sqrt96` .....[दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन]

= `sqrt(16 xx 6)`

= `4sqrt(6)` सेमी

परंतु, CD = AF      ......[आयताच्या समोरासमोरील बाजू]

∴ CD = `4sqrt(6)` सेमी  

Concept: स्पर्शिका - त्रिज्या प्रमेय
  Is there an error in this question or solution?
Chapter 3: वर्तुळ - सरावसंच 3.2 [Page 58]

RELATED QUESTIONS

दिलेल्या आकृतीत, केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या बाह्यभागातील R या बिंदूपासून काढलेले RM आणि RN हे स्पर्शिकाखंड वर्तुळाला बिंदू M आणि N मध्ये स्पर्श करतात. जर OR = 10 सेमी व वर्तुळाची त्रिज्या 5 सेमी असेल तर-

(1) प्रत्येक स्पर्शिकाखंडाची लांबी किती?

(2) ∠MRO चे माप किती?

(3) ∠MRN चे माप किती?

 


त्रिज्या 4.5 सेमी असलेल्या वर्तुळाच्या दोन स्पर्शिका परस्परांना समांतर आहेत. तर त्या स्पर्शिकांतील अंतर किती हे सकारण लिहा.


आकृती मध्ये, केंद्र P आणि Q असलेली वर्तुळे परस्परांना बिंदू R मध्ये स्पर्श करतात. बिंदू R मधून जाणारी रेषा त्या वर्तुळांना अनुक्रमे बिंदू A व बिंदू B मध्ये छेदते. तर -

(1) रेख AP || रेख BQ हे सिद्ध करा.

(2) ΔAPR ~ ΔRQB हे सिद्ध करा.

(3) जर ∠PAR चे माप 35° असेल, तर ∠RQB चे माप ठरवा.


आकृती मध्ये, बिंदू O वर्तुळकेंद्र आणि रेख AB व रेख AC हे स्पर्शिकाखंड आहेत. जर वर्तुळाची त्रिज्या r असेल आणि l(AB) = r असेल, तर `square`ABOC हा चौरस होतो, हे दाखवा.


आकृती मध्ये, केंद्र N असलेले वर्तुळ केंद्र M असणाऱ्या वर्तुळाला बिंदू T मध्ये स्पर्श करते. मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या लहान वर्तुळाला बिंदू S मध्ये स्पर्श करते. जर मोठ्या व लहान वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे 9 सेमी व 2.5 सेमी असतील तर खालील प्रश्नांची उत्तरे शोधा आणि त्यांवरून MS : SR हे गुणोत्तर काढा.

(1) MT = किती?

(2) MN = किती?

(3) ∠NSM = किती?

 


शेजारील आकृतीत, रेषा l ही केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला बिंदू P मध्ये स्पर्श करते. बिंदू Q हा त्रिज्या OP चा मध्यबिंदू आहे. बिंदू Q ला सामावणारी जीवा RS || रेषा l. जर RS 12 सेमी असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा. 


शेजारील आकृतीत, रेषा l ही केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला बिंदू P मध्ये स्पर्श करते. बिंदू Q हा त्रिज्या OP चा मध्यबिंदू आहे. बिंदू Q ला सामावणारी जीवा RS || रेषा l. जर RS 12 सेमी असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा. 


वर्तुळाच्या बाह्यभागातील बिंदूपासून त्या वर्तुळाला काढलेले स्पर्शिकाखंड एकरूप असतात हे प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी आकृतीच्या आधारे खालील कृती पूर्ण करा.

पक्ष: `square`

साध्य: `square`

सिद्धता:  

त्रिज्या AP आणि AQ काढून प्रमेयाची खाली दिलेली सिद्धता रिकाम्या जागा भरून पूर्ण करा.

ΔPAD आणि ΔQAD यांमध्ये,

बाजू PA ≅ बाजू `square` ...........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]

बाजू AD ≅ बाजू AD ...............[`square`]

∠APD ≅ ∠AQD = 90°  ............[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]

∴ ΔPAD ≅ ΔQAD ..................[`square`]

∴ बाजू DP ≅ बाजू DQ ...............[`square`]


दिलेल्या आकृतीत, Q केंद्र असलेल्या वर्तुळाच्या रेख PM आणि PN स्पर्शिका आहेत. जर ∠MPN = 40°, तर ∠MQN चे माप काढा.


आकृतीमध्ये, O हा वर्तुळाचा केंद्रबिंदू आहे. रेषा AQ ही स्पर्शिका आहे. जर OP = 3 आणि m(कंस PM) = 120° असेल, तर AP ची लांबी काढा? 

 


Share
Notifications



      Forgot password?
Use app×